METODE NUMERIK
METODE NUMERIK adalah :
Teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan /aritmatika
biasa ( tambah,kurang,kali dan bagi)
METODE artinya CARA
NUMERIK artinya ANGKA
Jadi METODE NUMERIK artinya cara berhitung dengan
menggunakan angka.
Metode Numerik hanya diperoleh solusi yang mendekati solusi
sejati sehingga solusi numerik dikatakan solusi pendekatan. Solusi pendekatan
jelas tidak sama dengan solusi sejati sehingga ada selisih antara kedua solusi
tersebut. Selisih ini lah yang disebut dengan ERROR( galat/kesalahan )
= kesalahan = solusi sejati - solusi pendekatan
Kesalahan Relatif = 
Perbedaan Metode Numerik dan Analisis Numerik
Metode Numerik :
algoritma menyangkut langkah-langkah persoalan secara
Numerik
Analisis Numerik : terapan matematika untuk menganalisis metode, hal
utama yang
ditekankan diantaranya adalah analisis galat
I. Akar Persamaan Non Linier
Metoda : (a).
Bisection
(b). Regulafasi ( False Position )
(c). Sekan
(d). Iterasi Titik Tetap
II. Interpolasi
Metoda perhitungan Poliom
Interpolasi yaitu :
1. Polinom Lagrange
2. Polinom Newton
3. Polinom Newton Gregory : ( Forward
& Backward)
III. Integral
Metoda : (a). Persegi Panjang
(b). Trapesium
(c). Simpson
Akar Persamaan Non Linier
Ø METODE BISEKSI
f(x) = 0 menghitung akar dari f(x) , jika r akar
f(x) f ( r) = 0 |
 |
||
r
x0 x2 x1
r
|
|
f(x)
I
xk+1 - xk
I <
Yang mengandung akar
dari f(x) = 0
PROSEDUR
1. Pilih interval awal [x0 ,
x1 ] tentukan nilai 
|
3. membuang interval yang tidak
berguna tinjau f(x0). f(x2)
Ø Jika f(x0). f(x2) >
0 maka x2 mengantikan x0
Ø Jika f(x0). f(x2) = 0 maka
STOP x2 akar
Ø Jika f(x0). f(x2) <
0 maka x2 mengantikan x1
4. STOP. I x1 -
x0 I
< 
atau I f(x0) f(x2) I <
atau I f(x0) f(x2) I <
Metode Biseksi menjamin bahwa selalu berhasil menemukan akar yang kita cari. Hanya
kelemahan dari metode tersebut bekerja sangat lambat karena slalu menentukan
titik tengah x2 sebagai titik
ujung interval berikutnya, padahal mungkin tadinya sudah mendekati akar.
 |
ya
tidak
tidak
tidak |
ya
ya
Contoh : f(x) = x3 – x – 1, 
= 0,1
= 0,1|
Iterasi
|
X0
|
X1
|
X2
|
f(X0)
|
f(X2)
|
f(X0)f(X2)
|
I
X0
– X1
I
|
|
1
|
1
|
2
|
1.5
|
-1
|
0,875
|
-0,875
|
1
|
|
2
|
1
|
1,5
|
1,25
|
-1
|
-0,297
|
0,297
|
0,5
|
|
3
|
1,25
|
1,5
|
1,375
|
-0,297
|
0,225
|
-0,067
|
0,25
|
|
4
|
1,25
|
1,375
|
1,312
|
-0,297
|
-0,053
|
0,016
|
0,125
|
Kerjakan
f(x) = e x – 5x2
, = 0,01
= 0,01|
Iterasi
|
X0
|
X1
|
X2
|
f(X0)
|
f(X2)
|
f(X0)f(X2)
|
I
X0
– X1
I
|
|
1
|
0
|
1
|
0,5
|
1
|
0,3987
|
0,3987
|
1
|
|
2
|
0,5
|
1
|
0,75
|
0,3987
|
-0,6955
|
-0,2773
|
0,5
|
|
3
|
0,5
|
0,75
|
0,625
|
0,3987
|
-0,0849
|
-0,0338
|
0,25
|
|
4
|
0,5
|
0,625
|
0,5625
|
0,3987
|
0,1730
|
0,0690
|
0,125
|
|
5
|
0,5625
|
0,625
|
0,5937
|
0,1730
|
0,0481
|
0,0083
|
0,0625
|
|
6
|
0,5937
|
0,625
|
0,6094
|
0,0481
|
-0,0174
|
-0,0008
|
0,0313
|
|
7
|
0,5937
|
0,6094
|
0,6016
|
0,0481
|
0,0156
|
0,0008
|
0,0157
|
|
8
|
0,6016
|
,6094
|
0,6055
|
0,0156
|
-0,0009
|
-0,00001
|
0,0078
|
PROSEDUR
METODE REGULAFASI
1.
Pilih [ x0 , x1 ] yang memuat akar f(x) ;
2.
3. Tinjau f(x0). f(x2)
Ø
Jika f(x0). f(x2) >
0 maka x2 mengantikan x0
Ø
Jika f(x0). f(x2) = 0 maka
STOP x2 akar
Ø
Jika f(x0). f(x2) <
0 maka x2 mengantikan x1
4.
STOP , jika
(i)
atau 
atau
(ii) 
Lebih cepat dibandingkan dengan metode
Biseksi
(X0 ,f(X0
))
 |
|||
 |
|||
r X1
 |
X0 X2
(X1 ,f(X1 ))
Contoh : f(x) = x3 – x –
1, = 0,01
= 0,01
|
n
|
X0
|
X1
|
f(X0 )
|
f(X1 )
|
X2
|
f(X2 )
|
f(X0 ) f(X2
)
|
 |
|
|
1
|
1
|
2
|
-1
|
5
|
1,167
|
-0,578
|
0,578
|
0,167
|
0,416
|
|
2
|
1,167
|
2
|
-0,578
|
5
|
1,253
|
-0,286
|
0,165
|
0,074
|
0,374
|
|
3
|
1,253
|
2
|
-0,286
|
5
|
1,293
|
-0,131
|
0,037
|
0,032
|
0,354
|
|
4
|
1,293
|
2
|
-0,131
|
5
|
1,311
|
-0,058
|
0,007
|
0,014
|
0,344
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kerjakan
f(x) = e x – 5x2
|
n
|
X0
|
X1
|
f(X0 )
|
f(X1 )
|
X2
|
f(X2 )
|
f(X0
) f(X2 )
|
|
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
-2,2817
|
0,3047
|
0,8920
|
0,8920
|
|
0,6953
|
|
2
|
0,3097
|
1
|
0,8920
|
-1,1408
|
0,6098
|
-0,0192
|
-0,0171
|
0,9690
|
0,3902
|
|
3
|
0,3097
|
0,6098
|
0,8920
|
-0,0192
|
0,6034
|
0,0080
|
0,0071
|
0,9483
|
0,0105
|
|
4
|
0,6034
|
0,6098
|
0,0080
|
-0,0192
|
0,6052
|
0,0003
|
0
|
0,0030
|
0,0075
|
|
5
|
0,6052
|
0,6098
|
0,0003
|
-0,0096
|
0,6052
|
0,0000
|
0
|
0
|
0,0075
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
METODE SEKAN
PROSEDUR
1.
Pilih x0 dan x1 sembarang, ( akar tidak harus ada
di [x0 , x1 ]
( akar tidak harus ada
di [x0 , x1 ]
2.
3. 
4.
STOP , jika
(i)
atau
atau
(ii)
|
 |
x2 r
x0 x1
f(x )
Contoh : f(x) = x3 – x –
1, = 0,01
= 0,01|
n
|
X0
|
X1
|
f(X0 )
|
f(X1 )
|
X2
|
f(X2 )
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
5
|
23
|
1,722
|
2,384
|
0,139
|
0,426
|
|
2
|
3
|
1,722
|
23
|
2,384
|
1,574
|
1,325
|
0,475
|
0,086
|
|
3
|
1,722
|
1,574
|
2,384
|
1,325
|
1,917
|
4,128
|
0,113
|
0,218
|
|
4
|
1,574
|
1,917
|
1,325
|
4,128
|
1,412
|
0,403
|
0,103
|
0,263
|
|
5
|
1,917
|
1,412
|
4,128
|
0,403
|
1,357
|
0,142
|
0,292
|
0,039
|
|
6
|
1,412
|
1,357
|
0,403
|
0,142
|
1,327
|
0,010
|
0,060
|
0,022
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kerjakan
f(x) = e x – 5x2
|
n
|
X0
|
X1
|
f(X0 )
|
f(X1 )
|
X2
|
f(X2 )
|
|
|
|
1
|
1
|
2
|
-0,4366
|
-12,6109
|
0,9641
|
-2,0250
|
0,0359
|
0,5180
|
|
2
|
2
|
0,9641
|
-12,6109
|
-2,0250
|
0,7659
|
-0,7821
|
0,6171
|
0,2056
|
|
3
|
0,9641
|
0,7659
|
-2,0250
|
-0,7821
|
0,6412
|
-0,1569
|
0,3349
|
0,1628
|
|
4
|
0,7659
|
0,6412
|
-0,7821
|
-0,1569
|
0,6099
|
-0,0196
|
0,2037
|
0,0488
|
|
5
|
0,6412
|
0,6099
|
-0,1569
|
-0,0196
|
0,6054
|
-0,0006
|
0,0558
|
0,0074
|
|
6
|
0,6099
|
0,6054
|
-0,0196
|
-0,0006
|
0,6052
|
0,0003
|
0,0077
|
0,0003
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|||
 |
|||
 |
S (x0,
f(x0))
 |
x1
x0
f(x )
Persamaan garis singgung di S
Y – f(x0) = f ' (x0)(
x - x0) ………………………..(*)
Garis singgung tersebut memotong sb – x
di titik (x1 , 0)
Dari pers (*) – f(x0) = f ' (x0)( x - x0)
Dengan cara yang sama di peroleh bentuk
umum :
k= 0,1,2,…
PROSEDUR NEWTON
1.
Pilih x0 sebarang ;
2.
Tentukan f(x0)
3. Untuk
k = 0,1,2,…..
Hitung berturut2 :
4.
STOP , jika
(i)
(ii) 
Contoh : f(x) = x3 – x –
1, = 0,1
= 0,1|
n
|
X0
|
f(X0 )
|
f’(X0 )
|
X1
|
f(X1 )
|
|
|
1
|
2
|
5
|
5
|
1
|
-1
|
1
|
|
2
|
1
|
-1
|
-4
|
0,75
|
-1,328
|
1,328
|
|
3
|
0,75
|
-1,328
|
1,25
|
1,812
|
3,137
|
1,416
|
|
4
|
1,812
|
3,137
|
4,436
|
1,105
|
-0,756
|
0,390
|
|
5
|
1,105
|
-0,756
|
2,315
|
1,432
|
0,504
|
0,296
|
|
6
|
1,432
|
0,504
|
3,296
|
1,279
|
0,187
|
0,107
|
|
7
|
1,279
|
-0,187
|
2,837
|
1,345
|
0,088
|
0,052
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kerjakan
f(x) = e x – 5x2
|
n
|
X0
|
f(X0 )
|
f’(X0 )
|
X1
|
f(X1 )
|
|
|
1
|
1
|
-2,2817
|
-7,2817
|
0,6867
|
-0,3706
|
0,6294
|
|
2
|
0,6867
|
-0,3706
|
-4,8799
|
0,6108
|
-0,0135
|
0,1105
|
|
3
|
0,6108
|
-0,0135
|
-4,2661
|
0,6053
|
-0,0001
|
0,0090
|
|
4
|
0,6053
|
-0,0001
|
-4,2212
|
0,6053
|
-0,0001
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
METODE ITERASI TITIK TETAP
PROSEDUR:
1. Susun
persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x)
2. Bentuk
menjadi 
3. Tentukan
sebarang 
, kemudian hitung 
yang dapat konvergen ke akar sejati
, kemudian hitung yang dapat konvergen ke akar sejati
4. STOP
atau 
Contoh : f(x) = x3 – x – 1 
|
Iterasi
|
 |
|
|
1
|
2
|
-
|
|
2
|
1,4422
|
0,5578
|
|
3
|
1,3467
|
0,0955
|
|
4
|
1,3289
|
0,0178
|
|
5
|
1,3255
|
0,0034
|
|
6
|
1,3249
|
0,0006
|
|
7
|
1,3248
|
0,0001
|
|
8
|
1,3247
|
0,0001
|
|
9
|
1,3247
|
0
|
Kerjakan
f(x) = e x – 5x2
|
Iterasi
|
|
|
|||
|
1
|
1
|
-
|
7
|
0,6056
|
0,0008
|
|
2
|
0,7373
|
0,2627
|
8
|
0,6054
|
0,0002
|
|
3
|
0,6466
|
0,0907
|
9
|
0,6053
|
0,0001
|
|
4
|
0,6179
|
0,0287
|
|||
|
5
|
0,6091
|
0,0088
|
|||
|
6
|
0,6064
|
0,0027
|
|||
Sistem Persamaan Linier.(SPL)
Menentukan solusi SPL :
Eliminasi Substitusi Hasil (Jawab ) Eksak Metode
Eliminasi Gauss Metode
Iterasi Gauss Seidel
Contoh : SPL
2x + y =
4 ……..(1)
x - y
= -1……...(2)
Cara
Ø
Eliminasi
2x + y = 4
2x - 2y = -2
3y = 6 
y = 2
y = 2
x = -1 + y = -1 +2 = 1
x = 1; y = 2
Ø
Substitusi
(2) x = y -1
x = y -1
(1) 2x + y = 4
2x + y = 4
2(y-1) + y = 4 2y – 2 + y = 4 3y = 6 y = 2
2y – 2 + y = 4 3y = 6 y = 2
x = 1 ; y = 2
Ø
Eliminasi Gauss Yordan
x = 1 ; y
= 2
Ø
Iterasi Gauss Seidel
Contoh : SPL
2x + y =
4 ……..(1)
x - y
= -1……...(2)
; 
Nilai awal x0 = 2 ; y0 = 0
|
Iterasi
|
x
|
y
|
 |
 |
|
0
|
2
|
0
|
-
|
-
|
|
1
|
0,5
|
3
|
0,5
|
3
|
|
2
|
1,25
|
1,5
|
0,75
|
1,5
|
|
3
|
0,875
|
2,25
|
0,375
|
0,75
|
|
4
|
1,0625
|
1,875
|
0,1875
|
0,375
|
|
5
|
0,9688
|
2,0625
|
0,0937
|
0,1875
|
|
6
|
1,0156
|
1,9688
|
0,0468
|
0,0937
|
|
7
|
0,9922
|
2,0156
|
0,0234
|
0,0468
|
|
8
|
1,0039
|
1,9922
|
0,0117
|
0,0234
|
|
9
|
0,9981
|
2,0039
|
0,0058
|
0,0117
|
|
10
|
1,0010
|
1,9981
|
0,0029
|
0,0058
|
Contoh : SPL
4x - y +
z = 7 ……..(1)
4x - 8
y + z = -21……...(2)
-2x + y + 5z = 15……...(3)
Ø
Eliminasi Gauss Yordan
x = 2
; y = 4 ; z = 3
Ø
Iterasi Gauss Seidel
4x - y +
z = 7 ……..(1)
4x - 8
y + z = -21……...(2)
-2x + y + 5z = 15……...(3)
; 
; 
Nilai awal x0 = 1 ; y0 = 2 ; z0
= 2
|
Iterasi
|
x
|
y
|
z
|
|
|
 |
|
0
|
1,75
|
2
|
2
|
|
|
|
|
1
|
3,75
|
1,75
|
3
|
|
|
|
|
2
|
1,95
|
3,96875
|
2,98625
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
2
|
4
|
3
|
|
|
|
Interpolasi Polinom
Diketahui (n + 1)
titik berbeda 
, 
……….
, ……….
Tentukan polinom Pn(x) yang melalui semua
titik tersebut sedemikian sehingga
Yi = Pn(xi)
untuk i = 0,1,2,…, n, Yi dari
fungsi matematika f(x) missal ln(x) , sin (x) dll sedemikian sehingga yi =
f(xi) sedangkan Pn(x) fungsi hampiran terhadap f(x),
dengan yi adalah nilai
empiris diperoleh dari percobaan.
 |
|||
 |
|||
x=a x =b
Jika x0 < xk
< xn maka yk = P (xk ) disebut
nilai interpolasi
Jika x0 > xk atau
xk > xn
maka yk = P (xk )
disebut nilai ekstrapolasi
Interpolasi Linier
Adalah
interpolasi dua buah titik dengan
sebuah garis lurus
Misal dua buah
titik dan b, maka polinom yang menginterpolasi ke dua titik tersebut
adalah persamaan garis lurus p1(x) = a0 + a1 x
dan b, maka polinom yang menginterpolasi ke dua titik tersebut
adalah persamaan garis lurus p1(x) = a0 + a1 x |
Contoh : (1)
Jika ln ( 9.0 ) =
2.1972 , ln (9.5) = 2.2513 maka ln ( 9.2 ) =
?
Jawab :
Bandingkan dengan
nilai sebenarnya = 2,2192
Contoh : (2)
Berapa Perkiraan
jumlah penduduk AS pada tahun 1968 berdasarkan data berikut
|
Tahun
|
1960
|
1970
|
|
Jumlah Penduduk
( Juta )
|
179,3
|
203,2
|
Jawab :
Interpolasi Kuadratik
Melalui Tiga buah titik , dan
, dan
P2(x) = a0 +
a1 x + a2 x2
a0 + a1 x0
+ a2 x02 = y0
a0 + a1 x1
+ a2 x12 = y1 gunakan Eliminasi Gauss a0 + a1 x2
+ a2 x22 = y2
Contoh :
Ln (8.0) = 2.0794
; ln (9.0) = 2.1972 ; dan ln (9.5) = 2.2513
Ln ( 9.2) = ?
Jawab :
(8,
2.0794) a0
+ 8 a1 + 64 a2 =
2.0794(9,
2.1972) a0
+ 9 a1 + 81 a2 = 2.1972
(9.5
, 2.2513) a0
+ 9.5 a1 + 90.25 a2 = 2.2513
Dengan
menggunakan Eliminasi Gauss diperoleh :
a0 = 0,6762 ; a1 = 0,2266 ; a3 = - 0,0064
maka polinom nya : P2(x) = 0,6762 + 0,2266 x - 0,0064 x2
Sehingga P2(9,2) = 2,2192
Interpolasi Kubik
Melalui Empat buah titik , ,dan 
, ,dan
P2(x) = a0 +
a1 x + a2 x2
a0 + a1 x0
+ a2 x02 +
a3 x03 = y0
a0 + a1 x1
+ a2 x12 +
a3 x13 = y1 gunakan
Eliminasi Gauss
a0 + a1 x2
+ a2 x22 + a3 x23 = y2 a0 + a1 x3
+ a2 x32 + a3 x33 = y2
Dengan
cara yang sama untuk Interpolasi berderajat n
Metode perhitungan Poliom Interpolasi (
dengan tidak menggunakan cara di atas ) yaitu : 1. Polinom Lagrange
2. Polinom Newton
3. Polinom Newton
1. Polinom Lagrange
Dari
persamaan yang diperoleh :
Bentuk Polinom Lagrange derajat
1 adalah
Sebut
Bentuk umum Polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n+ 1) titik berbeda adalah
Dengan 
Contoh :
Nilai
yang berkorespondensi dengan y = 
adalah :
adalah :|
Xi
|
300
|
304
|
305
|
307
|
 |
2.4771
|
2.4829
|
2.4843
|
2.4871
|
i
= 0,1,2,3
Carilah: 
Maka
dengan menggunakan Rumus Polinomial Lagrange di peroleh :
Dengan :
Dengan
mensubstitusikan : x = 301 dan
 = 300 |
 = 304 |
 = 305 |
 = 307 |
 = 2.4771 |
 = 2.4829 |
 = 2.4843 |
 = 2.4871 |
Maka
di peroleh 
2. Polinom Newton
Sehingga diperoleh :
.
Karena a0 , a1 ….. an merupakan nilai selisih terbagi maka Polinom Newton dinamakan Polinom Interpolasi Selisih
Terbagi Newton
Dinyatakan
dalam bentuk tabel berikut :
|
i
|
xi
|
yi=f(xi)
|
ST-1
|
ST-2
|
ST-3
|
|
0
|
X0
|
f(X0)
|
|
|
|
|
|
|
|
f [X1,
X0]
|
|
|
|
1
|
X1
|
f(X1)
|
|
f [X2,
X1 ,X0]
|
|
|
|
|
|
f [X2,
X1]
|
|
f [X3,
X2 X1,X0]
|
|
2
|
X2
|
f(X2)
|
|
f [X3,
X2 X1]
|
|
|
|
|
|
f [X3,
X2]
|
|
|
|
3
|
X3
|
f(X3)
|
|
|
|
Hitung
f(9,2) dari nilai –nilai (x,y) pada
tabel dengan polinom Newton
derajat 3
Dinyatakan
dalam bentuk tabel berikut :
|
i
|
xi
|
yi=f(xi)
|
ST-1
|
ST-2
|
ST-3
|
|
0
|
8
|
2,079442
|
|
|
|
|
|
|
|
0,117783
|
|
|
|
1
|
9
|
2,197225
|
|
-0,006433
|
|
|
|
|
|
0,108134
|
|
0,000411
|
|
2
|
9,5
|
2,251292
|
|
-0,005200
|
|
|
|
|
|
0,097735
|
|
|
|
3
|
11,0
|
2,397895
|
|
|
|
3. Polinom Newton
Merupakan
kasus khusus dari Polinom Newton untuk
titik yang berjarak sama.Sehingga rumus Polinomnya menjadi lebih sederhana,
selain itu tabel selisih terbaginya pun
menjadi lebih mudah terbentuk , dan tabel tersebut hanya sebagai Tabel Selisih saja , karena tidak ada
proses pembagian dalam pembentukan elemen tabel.
-Tabel Selisih Mundur ( Backward Difference)
Karena
itu ada 2 macam Polinom Newton Gregory yaitu :
-
Forward Newton
Gregory
-
Backward Newton
Gregory
1.Tabel Selisih Maju ( Forward
Difference)
|
I
|
xi
|
yi=f(xi)
|
 |
 |
 |
|
0
|
X0
|
f(X0)
= f0
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
1
|
X1
|
f(X1)
|
|
 |
|
|
|
|
|
 |
|
 |
|
2
|
X2
|
f(X2)
|
|
 |
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
3
|
X3
|
f(X3)
|
|
|
|
, dimana h =
x1 –x0
Bentuk umum 
Rumus Polinom 
Bentuk Umum Forward Newton
Karena titik berjarak sama xi
=x0+ ih, i =0,1,2,…n
Dan nilai x yang diinterpolasi adalah x = x0+ sh atau 
Sehingga Bentuk
Umum Forward Newton 
2.Tabel Selisih Mundur ( Backward Difference)
|
I
|
xi
|
yi=f(xi)
|
 |
 |
 |
|
-3
|
X-3
|
f(X-3)
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
-2
|
X-2
|
f(X-2)
|
|
 |
|
|
|
|
|
 |
|
 |
|
-1
|
X-1
|
f(X-1)
|
|
 |
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
0
|
X0
|
f(X0)
|
|
|
|
Bentuk umum 
Bentuk Umum Backward Newton
dimana 
Integral Numerik
Misal
f(x) > 0 yang terletak diantara interval [a,b]
secara numerik
dipandang sebagai luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) ;x=a, x=b &
sumbu x
f(x)
a
b
METODE ( Aproksimasi )
1. Persegi Panjang
Daerah
integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval sama.
a. Tinggi diambil dari Ujung Kiri SubInterval
h
= 
 |
f(x) y0 y1 y2 y3
I II III IV
h h h h
a b
I = h 
b. Tinggi diambil dari Ujung Kanan SubInterval
 |
f(x) y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a
b
I = h 
c. Tinggi diambil dari Titik Tengah SubInterval
 |
f(x) y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h a
b
I = h 
Contoh :
Hitung 
Dengan
menggunakan Kalkulus dasar ;
Perhitungan
dengan menggunakan Metode Persegi Panjang :
a. Tinggi
diambil dari Ujung Kiri SubInterval
Daerah
yang terbentuk adalah daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2 ,
garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal
daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
I = h
h =
=1
=1
I =
1 { f(0) + f(1) + f(2) + f(3) } = 1 { 0 + 1 + 4 + 9 } = 14
b. Tinggi
diambil dari Ujung Kanan SubInterval
Daerah
yang terbentuk adalah daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2 , garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
I = h
h =
=1
=1
I =
1 { f(1) + f(2) + f(3) + f(4) } = 1 { 1 + 4 + 9 + 16 } = 30
c. Tinggi
diambil dari Titik Tengah SubInterval
Daerah
yang terbentuk adalah daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2 , garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
Ambil nilai tengah antara subinterval
I = h 
h =
=1
=1
I =
1 { f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) }
= 1 { 0,25 + 2,25 + 6,25
+ 12,25} = 21
2. Trapesium
Daerah
integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval sama.
h
=
 |
f(x) y0 y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a
b
I
= LI + LII + LIII
+ LIV =
= h/2
I = 
Contoh
:
Hitung
Daerah
yang terbentuk adalah daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2 , garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
h
= =1
=1
I =
=
½ {f( 0) + 2.f(1) + 2f(2) + 2f(3)
+ f(4) } = ½( 0 + 2 + 8 + 18 + 16)=22
3. Simpson
Daerah
integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval sama.( n
adalah kelipatan dua )
h
=
Pada
Pendekatan Integral numerik menggunakan
metode Simpson kita gunakan pendekatan dengan cara trapesium dengan mengambil dua
subinterval dengan mengasumsikan pengambilan dua buah trapesium yang berdampingan
kurva yang terbentuk mendekati bentuk kurva parabola.Untuk itu perhitungan
integral dengan cara simpson tersebut hasil nya untuk kurva berpangkat kurang
atau sama dengan dua mendekati nilai
sebenarnya ( perhitungan dengan kalkulus dasar )
 |
f(x) y0 y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a
2h 2h
Ih = ……..(1)
……..(1)
Untuk
k = 2h
Ik = 
……….(2)
……….(2)
Integral Trapesium .
I = Ih + c h2
……….(3) I = Ih + c h2 =
Ik + c k2
I = Ik
+ c k2 ………. (4) Ih
- Ik= c (k2 - h2 )
error trapesium c = 
=
=
==
Dari
persamaan (3) jika di subtitusikan nilai c = diperoleh
diperoleh
I
= Ih + . 
.
= 
Substitusikan
persamaan(1) dan (2)
Substitusikan
persamaan(1) dan (2)
I = 
-
-
I = 
Contoh
:
Hitung
Daerah
yang terbentuk adalah daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2 , garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
h
= =1
=1
I = 
= 1/3 {f(0) + 4f(1) + 2 f(2) + 4 f(3) + f(4) }
= 1/3
( 0 + 4 +
8 + 36 + 16 )
I = 64/3 = 21,3333
Perhitungan
integral dengan metode tersebut sangat mendekati nilai sebenarnya.
Ganti teks ini dengan informasi mengenai permalink atau apapun di sini.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar